《高等數學(上）教學大綱

一.課程編號：：040401

二.課程類型：必修課

課程學時：88學時/5。5學分

適用專業：除信科、強化班外的理、工科各專業

先修課程：初等數學

三.課程性質與任務

高等數學是我校理工科各專業的一門重要基礎課理論課程,是各專業學生一門必修的重要課程. 通過本課程的學習,使學生系統地獲得一元函數微積分等基本知識和基本理論；重點介紹極限、導數、積分（不定積分、定積分）,并注重培養學生熟練的運算能力和較強的抽象思維能力﹑邏輯推理能力﹑幾何直觀和空間想象能力，從而使學生學會利用數學知識去分析和解決一些幾何﹑力學和物理等方面的實際問題,為學習后續課程和進一步擴大數學知識奠定必要的數學基礎.

四.教學主要內容及學時分配

五.基本要求和基本內容

（一） 函數與極限

1、理解一元函數、反函數、復合函數的定義；

2、了解函數的表示和函數的簡單性態——有界性、單調性、奇偶性、周期性；

3、熟悉基本初等函數與初等函數（包含其定義區間、簡單性態和圖形）；

4、理解數列極限的概念（對 定義不作過高要求）；

5、熟悉收斂數列的性質—有界性、唯一性；

6、了解數列極限的存在準則—單調有界準則、夾逼準則；

7、理解函數的極限的定義（包括當 和 時，函數極限的定義及左、右極限的定義）

8、了解函數極限的性質—— 唯一性、保號性、局部有界性；

9、熟練掌握極限的四則運算法則（包括數列極限與函數極限）

10、掌握兩個重要極限：

11、熟悉無窮小量的概念及其運算性質、無窮小量的比較；

12、了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；

13、函數極限與無窮小量的關系；

14、理解函數的連續性的概念、了解函數的間斷點的分類；

15、熟悉連續函數的和、差、積、商及復合函數的連續性；

16、了解初等函數的連續性，掌握閉區間上連續函數的性質。

（二）導數與微分

1、理解函數導數與微分的定義，了解導數與微分的幾何意義；

2、熟悉函數可導與連續的關系，會用導數來描述一些物理量；

3、掌握可導函數的和、差、積、商的求導運算法則；

4、掌握復合函數的求導法則和反函數的求導法則；

5、熟悉基本初等函數的求導公式及初等函數的求導問題；

6、了解高階導數的概念，會求一些簡單函數的高階導數；

7、熟悉隱函數求導法、對數求導法和由參數方程所確定的函數的求導法；

8、熟悉微分的基本公式、運算法則和一階微分形式不變性；

  （三）中值定理與導數的應用

1、理解微分中值定理——羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理；

2、掌握羅必塔法則，會利用此法則求函數極限；

3、理解函數的極值的概念，會利用導數判別函數的單調性、求函數極值；

4、掌握函數的最大、最小值的求法及其應用問題；

5、了解曲線的凹凸性和拐點的概念，會判別函數曲線的凹凸區間和拐點；

6、會描繪函數的圖形；

7、了解弧微分、曲率和曲率半徑等概念；

（四）不定積分

1、理解原函數和不定積分的定義，了解不定積分的幾何意義；

2、熟練掌握不定積分的基本性質和基本積分公式；

3、掌握不定積分的換元積分法（第一類、第二類換元法）和分部積分法；

4、會求有理函數的積分和一些可以有理化函數的積分；

（五）定積分及其應用

1、理解定積分的定義和定積分的存在定理；

2、熟悉定積分的基本性質——對區間的可加性、線性性質、比較性質和

定積分的中值定理（包括積分均值）；

3、理解積分上限的函數的積分性質及其導數，熟悉微積分學基本定理；

4、熟悉牛頓一萊布尼茲公式，掌握定積分的換元積分法和分部積分法；

5、了解兩種廣義積分（無界函數的廣義積分、無窮區間上的廣義積分）

的概念及其斂散性定義，會計算廣義積分；

6、了解定積分的近似計算方法（梯形法和拋物線法）；

（六）定積分的應用

 1、掌握定積分的元素法

 2、熟悉定積分在幾何上應用（求平面圖形的面積、特殊立體體積和平面曲線的弧長）；

 3、熟悉定積分在物理上應用（水壓力、變力作功、物體引力等）；

六.課程內容的重點和深廣度要求

《高等數學》課程的基本任務概括地說，是傳授微積分（含常微分方程等）等基礎知識，培養學生抽象思維、邏輯推理、自己獲取知識，應用數學知識解決實際問題等方面的能力，以提高數學素養。在教學過程中，通過分折、歸納、類比、聯想、幾何直觀等方法和現代教育手段逐步提高學生的數學理解力和探索創新的精神。同時，要對極重要應用的數學思想方法，如映射的思想、坐標方法的思想、極限的思想、局部線性化的思想，逼近的思想、變換的思想，以及最優化的思想等，予以足夠的重視，使學生在學完本課程后，對這些思想方法有一定的領悟。

七.對學生課外作業的要求

能獨立按時完成課外作業。

八.本課程與后續課程的關系

為后續課程提供必要的數學基礎知識。

九.對學生能力培養的要求

    通過本課程各知識點的學習，培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力。

十.教材及主要參考書

1. 高等數學（第四版）．同濟大學編著，高等教育出版社。 

2. 高等數學（第五版）．同濟大學編著，高等教育出版社。

3. 工科數學分析基礎．馬知恩、王綿生編著，高等教育出版社。

十一.教學方法和教學媒體的使用

在本課程的教學中可以用電子教案演示和書寫黑板相結合，提高講課效率和講課效果。

十二.學習方法與建議

在本課程的學習中應重視對基本概念的學習和理解，注意相關性質的理解和解題技巧。